O przełożeniach w rowerze słów kilka

Szczegóły: mslonik; Opublikowano: 02 grudzień 2008; Odsłony: 53024

640 Rys03 rower3 oznaczenia

Zapraszam do lektury artykułu traktującego o tzw. przełożeniach w rowerze. Wyprowadzam zależności wykorzystywane w internecie do analizowania przełożeń. Dyskutuję wyniki uzyskane przez innych autorów, w innych artykułach.

Pierwotna treść artykułu została ukończona w grudniu 2008 roku. W roku 2013 artykuł został poddany gruntownemu przeglądowi. Treść została poprawiona i uzupełniona. Z tego względu publikuję artykuł ponownie.

Zapraszam do lektury!

W rozdziale 2 autor wyprowadza podstawowe wzory potrzebne do oceny przełożeń w rowerze. W rozdziale 3 wzory te zostają wykorzystane do wyliczenia przełożeń w trzech przykładowych rowerach: rowerze trekkingowym, rowerze holenderskim wyposażonym w przerzutkę planetarną oraz w rowerze górskim. Następnie autor dyskutuje zagadnienia gęstości i skoku przełożeń. Wreszcie, w rozdziale 5 przedstawia osobiste wnioski oraz podaje źródła, które mogą się okazać przydatne przy samodzielnych rozważaniach.

Spis treści:

1. Wprowadzenie.

2. Wyprowadzenie wzorów.

3. Kilka przykładów.

4. Gęstość i skok przełożeń.

5. Wnioski i źródła.

640 Rys03 rower3 oznaczenia

Zapraszam do lektury!

Spis treści:

1. Wprowadzenie.

2. Wyprowadzenie wzorów.

3. Kilka przykładów.

4. Gęstość i skok przełożeń.

5. Wnioski i źródła.

Strona 2

1. Wprowadzenie.

Postanowiłem napisać ten artykuł aby samemu zrozumieć w jaki sposób można za pomocą dość elementarnej matematyki wyprowadzić zależności pozwalające na obliczenie przełożeń w rowerze. Celem zadania jest znalezienie formuły, która w prosty i szybki sposób pozwoli na porównanie ze sobą bardzo różnych rowerów: małych i dużych, sportowych i górskich, takich z napędem wykorzystującym przerzutki planetarne (umieszczone we wnętrzu piasty) jak i przerzutki zewnętrzne.

2. Wyprowadzenie wzorów.

Najprostszy model roweru :-) Cóż więc mamy? Ramę, czyli zbiór odpowiednio ze sobą połączonych odcinków i... nieco okręgów (por. Rys. 01). Skupmy uwagę na kilku z nich.

Rys. 01.

Dla podkreślenia, na Rys. 02 wszystko poza interesującymi nas okręgami zostało przyciemnione. Niektóre z okręgów są kołami zębatymi. Dla uproszczenia są one narysowane jako zwykłe okręgi, co nie wpływa na przedstawiony sposób rozumowania. Kołami zębatymi są:

jedno lub kilka kół zębatych współśrodkowych z osią tylnego koła;
jedno lub kilka kół zębatych współśrodkowych z korbą i osią suportu.

Rys. 02.

Koła zębate współśrodkowe z osią tylnego koła będą w dalszej części artykułu nazywane „wielotrybem”. Tę samą funkcję w wielu rowerach pełnią dzisiaj tzw. kasety.
Koła zębate współśrodkowe z osią korby będą w dalszej części nazywane „koronkami”.

Podkreślam, że celowo unikam rozróżnienia pomiędzy tzw. „kasetą” a „wielotrybem”, gdyż w przedstawionym rozumowaniu nie ma ono znaczenia.

Spróbuję wyznaczyć zależności odpowiadające za coś, co po polsku nazywamy „przełożeniem”. Co to jest „przełożenie”? Mówiąc najprościej „przełożenie” powoduje, że jednemu obrotowi pedałów odpowiada „ileś”, przeważnie więcej niż jeden, obrotów koła.

Mając już model roweru przedstawiony na Rys. 01 oraz Rys. 02 wyznaczę zależność określającą drogę przebytą przez rower podczas jednego pełnego obrotu korby.

Na początek wprowadzam czynię pewne założenia oraz wprowadzam kilka oznaczeń.

Założenia:

Względność ruchu. Wybrany punkt roweru, np. na ramie roweru, porusza się względem obserwatora położonego poza rowerem. Inercjalny układ odniesienia wiążemy z punktem położonym poza rowerem.
Ruch prostoliniowy, tzn. rower jedzie po linii prostej, nie skręca.
Ruch jednostajny, tzn. rower nie przyspiesza i nie hamuje.
Wyróżniamy kierunek ruchu. „Do przodu”, gdy najpierw wybrany punkt odniesienia zostaje minięty przez koło przednie, a potem koło tylne.

Oznaczenia składają się z dwóch części: (1)₍₂₎. (1) - oznaczenie główne, służy do określenia wielkości fizycznej. (2) - prawy indeks dolny, wskazuje, ktoóej części roweru dotyczy wielkość fizyczna (1).

Oznaczenie (1)	Opis
v_(·)	prędkość liniowa
ω_(·)	prędkość kątowa
S_(·)	droga liniowa
θ_(·)	droga kątowa
R_(·)	promień koła lub okręgu
N_(·)	liczba zębów danego koła z zębami
ł	łuk okręgu
f	częstotliwość

Oznaczenie (2)	Opis
(·)_wu	Indeks wu oznacza wielkość fizyczną opisującą wielotryb (wielotrybu)
(·)_ka	Indeks ka oznacza wielkość fizyczną opisującą koło (koła)
(·)_ky	Indeks ky oznacza wielkość fizyczną opisującą korbę (korby)
(·)_ki	Indeks ki oznacza wielkość fizyczną opisującą koronkę (koronki)
(·)_R	Indeks R oznacza wielkość fizyczną opisującą rower (Rower)

Założenia. Kierunki obrotów, kierunki ruchu. Pedałujemy i poruszamy się przede wszystkim do przodu, wobec czego:

Dowolny punkt położony na okręgu tylnego koła (obręczy / oponie) porusza się z prędkością obrotową oznaczoną przez ω_ka w kierunku zaznaczonym na Rys. 03 (w prawo).
Dowolny punkt ramy roweru oraz punkty położone na na okręgu tylnego koła (obręczy / oponie) poruszają się do przodu (por. założenia) z prędkością oznaczoną przez $\vec{v_R}$ (w1) (por. Rys. 03).
Dowolny punkt materialny leżący na ramie roweru porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Dowolny punkt materialny położony na brzegu okręgu tylnego koła (obręczy / oponie) porusza się ruchem jednostajnym po okręgu. Punkty te pokonują drogę S_R. (Droga to długość odcinka krzywej, jaką pokonuje podczas ruchu punkt materialny. W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu 'odcinek krzywej' będzie łukiem okręgu).
Końce korby (osie pedałów) poruszają się z prędkością obrotową oznaczoną przez ω_ky w kierunku zaznaczonym na Rys. 03 (w prawo).
Końce korby (osie pedałów) pokonują drogę S_ky w takim samym kierunku co ω_ky.
Zęby koronki poruszają się z prędkością obrotową oznaczoną przez ω_ki w kierunku zaznaczonym na Rys. 03 (w prawo).
Zęby wielotrybu poruszają się z prędkością obrotową oznaczoną przez ω_wu w kierunku zaznaczonym na Rys. 03 (w prawo).

Rys. 03.

Przez „~” oznaczyłem słowo „związek”, a przez „?” pytanie.
Po wprowadzeniu założeń i oznaczeń, zadanie poszukiwania zależności pomiędzy drogą przebytą przez rower podczas jednego pełnego obrotu korby (kąt pełny to 2π rad) można zapisać następująco:

S_R ~? S_ky (2π rad)

Dowolny punkt leżący na okręgu koła (np. opona) przebywa drogę oznaczaną przez S_ka. Wobec tego:

S_R = S_ka

Zadanie można więc sformułować następująco:

(S_R = S_ka) ~? S_ky (2π)

Przekładnia, cześć 1.

Przyjrzyjmy się następującym układom (U jak układ) dwóch kół (1 i 2;nazywam je C₁ oraz C₂) o wyraźnie różniących się promieniach: R₁ ≠ R₂:

     U1: oba koła w jednej płaszczyźnie ale położone względem siebie dowolnie,
     U2: oba koła stykające się ze sobą,
     U3: koła zębate, stykające się ze sobą,
     U4 kół z zębami połączone ze sobą łańcuchem.

U1: pokręcenie dowolnym z kół nie ma wpływu na drugie koło. Jeżeli chcemy obrócić oba koła np. w tę samą stronę lub/i o ten sam kąt, musimy pokręcić każdym z kół niezależnie. Nie ma między nimi sprzężenia, czyli koła nie są ze sobą połączone.

U2: Uzyskanie styku pomiędzy kołami pozwala na realizację najprostszej przekładni, czyli układu, w którym pewne parametry obserwowane dla części układu zmieniają parametry (przekładają się) na parametry drugiej części układu. Czasami części układu się wyróżnia. Pierwszą część układu nazywa się np. wejściem, a drugą część układu nazywa się wyjściem.

Na Rys. 04 dane są dwa koła stykające się ze sobą w jednym punkcie (U2). Okręgi kręcą się w przeciwne strony z prędkościami kątowymi ω₁ oraz ω₂. Wektory prędkości liniowych $\vec{v_1}$ (w2) oraz $\vec{v_2}$ (w3) są sobie równe w punkcie styku:

$\mathsf{\large\vec{v_1}=\vec{v_2}}$ (w4)

Dla przypomnienia równość wektorów oznacza jednakową wartość, kierunek i zwrot obu wektorów.

Rys. 04.

Poza punktem styku występuje równość tylko wartości tych wektorów:

$\mathsf{\large \left|\vec{v_1}\right|=\left|\vec{v_2}\right|}$ (w5)

Stwierdzenie pozornie zaskakuje. Spróbujmy je odwrócić: gdyby wartości prędkości liniowych nie były równe, koła ślizgałyby się względem siebie. Skoro się więc nie ślizgają, to ich prędkości liniowe są jednakowe. Oba okręgi mają różne prędkości obrotowe.

Co nam daje taka przekładnia:

pozwala na odwrócenie kierunku obrotu okręgów (kierunek obrotu jednego koła przekłada się na przeciwny kierunek drugiego koła),
pozwala na zwiększenie / zmniejszenie prędkości obrotowej (prędkość obrotowa jednego koła przekłada się na inną prędkość drugiego koła),
pozwala na przeniesienie ruchu obrotowego na inną oś obrotu,
pozwala na sprzężenie (połączenie) ze sobą ruchu obu okręgów.

U3: Zastąpienie zwykłych okręgów kołami zębatymi (ang. gear) dodatkowo:

likwiduje niebezpieczeństwo poślizgu kół,
ogranicza dostępny zbiór promieni okręgów do wielokrotności całkowitej liczby i wielkości zębów; liczba zębów (N) jest proporcjonalna do promienia (R).

U4: Zastąpienie kół zębatych kołami z zębami dopasowanymi do łańcucha (ang. sprocket) i wprowadzenie łańcucha:

pozwoliło na uzyskanie tego samego kierunku obrotu obu okręgów,
pozwala na zwiększenie / zmniejszenie prędkości obrotowej,
pozwala na przeniesienie ruchu obrotowego na inną oś obrotu, która może być oddalona o odległość większą niż suma promieni obu okręgów,
pozwala na sprzężenie (połączenie) ze sobą ruchu obu okręgów.

Droga a łuk okręgu.

Definicja miary kątowej kąta θ została przedstawiona na Rys. 05:

$\mathsf{\Large {\theta} = \frac {l}{R}}$ (w6)

Związek między długością łuku a drogą.
W przypadku ruchu obrotowego ze stałą prędkością, punkty położone na okręgu przebywają drogę równą długości łuku:

ł = S

Stąd:

$\mathsf{\large \theta = \displaystyle \frac {S}{R}}$ (w7)

S = R · θ

Rys. 05.

Związek między prędkością liniową a prędkością kątową.
Dzieląc ostatnie z równań (w7) stronami przez czas uzyskamy związek:

v = R · ω

Przekładnia, część 2.
Wróćmy na chwilę do naszej przekładni w układzie dwóch kół stykających się w jednym punkcie (U2, por. Rys. 04):

v₁ = R₁ · ω₁ = R₂ · ω₂ = v₂

Ta sama zależność będzie prawdziwa dla układów U3 oraz najbardziej nas od teraz interesującym U4.

Ponieważ:
a) liczba zębów (N) jest proporcjonalna do promienia (R):

N ~ R

więc:

N₁ ~ R₁

oraz

N₂ ~ R₂

i dalej, podstawiając do podkreślonego równania:

v₁ = N₁ · ω₁ = N₂ · ω₂ = v₂

b) prędkość kątowa (ω) w ruchu jednostajnym to:

$\mathsf{\Large \omega= \frac{\theta}{t}}$ (w8)

gdzie:
θ – kąt,
t – czas.

Więc:

ω₁ = θ₁· t

oraz

ω₂ = θ₂· t

i dalej, podstawiając do podkreślonego równania:

v₁ = N₁ · θ₁· t = N₂ · θ₂ · t = v₂

Dzielimy stronami przez czas, otrzymując ostatecznie:

N₁ · θ₁ = N₂ · θ₂

Relacja „napędu”.

Czyli związek pomiędzy prędkością obrotową koronki (ω_ki) a prędkością obrotową wielotrybu (ω_wu), por. Rys. 06:

ω_ki ~ ω_wu

Poszukam teraz tej zależności.

Twierdzenie.

ω_wu = k_N · ω_ki

gdzie:
k_N to współczynnik proporcjonalności. Twierdzę więc, że zależność pomiędzy ω_wu i ω_ki jest liniowa, a współczynnik proporcjonalności to k_N:

$\mathsf{\large k_N=\frac{N_{ki}}{N_{wu}}}$ (w9)

θ_wu = k_N · θ_ki

Dla konkretnego przykładu (por. Rys. 06):

R_ki > R_wu

N_ki > N_wu

k_N > 1

Rys. 06.

Relacja „korby”.

Czyli związek pomiędzy prędkością obrotową koronki (ω_ki), a prędkością obrotową końca korby (osi pedałów) oznaczonej jako ω_ky, por. Rys. 07:

ω_ki ~ ω_ky

Ponieważ koronka jest połączona z korbą i mają wspólną oś obrotu, to:

ω_ki = ω_ky

Jednocześnie zachodzi relacja:

R_ky > R_ki

Z równości prędkości obrotowych wynika równość dróg kątowych (por. relacja „napędu”):

θ_ki = θ_ky

Rys. 07.

Relacja „wielotrybu”.
Czyli związek pomiędzy prędkością obrotową wielotrybu (ω_wu), a prędkością obrotową tylnego koła oznaczanej jako ω_ka, por. Rys. 08:

ω_wu ~ ω_ka

Ponieważ wielotryb jest połączony z kołem (co najmniej podczas ruchu całego roweru do przodu) i mają wspólną oś obrotu, to:

ω_wu = ω_ka

Jednocześnie zachodzi relacja:

R_ka > R_wu

Z równości prędkości obrotowych wynika równość dróg kątowych (por. relacja „napędu”):

θ_ka = θ_wu

Rys. 08.

Spróbujmy znaleźć relację pomiędzy drogą kątową korby (θ_ky) a drogą kątową koła (θ_ka):

θ_ky ~? θ_ka

Wykorzystując 3 równania dla przedstawionych powyżej związków „napędu, „korby” i „wielotrybu”:

θ_wu = k_N · θ_ki

θ_ki = θ_ky

θ_ka = θ_wu

znajdujemy poszukiwany związek:

θ_ka = k_N · θ_ky

Bazując na powyższym związku możemy znaleźć związek pomiędzy drogami liniowymi przebytymi przez punkty na okręgach: korby oraz koła roweru:

$\mathsf{\large \frac{S_{ka}}{R_{ka}}=k_N \cdot \frac{S_{ky}}{R_{ky}}}$ (w10)

Korzystając z powyższego związku możemy wyznaczyć drogę przebytą przez punkt na obwodzie koła roweru do drogi przebytej przez punkt na końcu korby:

$\mathsf{\large \frac{S_{ka}}{S_{ky}}=k_N \cdot \frac{R_{ka}}{R_{ky}}}$ (w11)

Po podstawieniu za kN stosunku liczby zębów:

$\mathsf{\large \frac{S_{ka}}{S_{ky}}= \frac{N_{ki}}{N_{wu}} \cdot \frac{R_{ka}}{R_{ky}}}$ (w12)

Co można także zapisać w postaci:

$\mathsf{\large S_{ka}= \frac{N_{ki}}{N_{wu}} \cdot \frac{R_{ka}}{R_{ky}} \cdot S_{ky}}$ (w13)

Wróćmy do naszego pytania: Jaką drogę pokona punkt na kole podczas pełnego obrotu korby?

Droga, jaką pokona koniec korby w trakcie jednego pełnego obrotu:

S_ky = R_ky · 2π

$\mathsf{\large S_{ka}=k_N \cdot \frac{R_{ka}}{R_{ky}} \cdot S_{ky}}$ (w14)

Podstawiając drogę, jaką pokona korba w trakcie pełnego obrotu otrzymujemy poszukiwaną zależność:

$\mathsf{\large S_{R}=S_{ka}=k_N \cdot R_{ka} \cdot 2\pi}$ (w15)

Miary „przełożenia”.
W internecie można spotkać kilka konkurujących ze sobą parametrów określających „przełożenie” roweru. Np. w Wikipedii rozważane są trzy miary przełożenia:

Calowa miara przełożenia (ang. gear inches), w skrócie GI.
Droga pokonywana przez rower podczas pełnego obrotu koła (ang. metres of development), w skrócie MoD.
Współczynnik wzmocnienia (ang. gain ratio), w skrócie GR.
„Rozstęp”, w skrócie RO.

Definicje:

(1) $\mathsf{\large \text{GI ['']}=\text{d ['']} \cdot k_N= \text{d ['']} \cdot \frac{N_{ki}}{N_{wu}}=2 \cdot R_{ka} \text{['']} \cdot \frac{N_{ki}}{N_{wu}}}$ (w16)
(2) $\mathsf{ \large \text{MoD [m]} = S_{ka} \text{[m]} = k_N \cdot R_{ka} \text{[m]} \cdot 2\pi = \frac{N_{ki}}{N_{wu}} \cdot R_{ka} \text{[m]} \cdot 2\pi = \frac{N_{ki}}{N_{wu}} \cdot \text{d [m]} \cdot \pi}$ (w17)
(3) $\mathsf{\large \text{GR [}\cdot \text{]}= \frac{S_{ka}}{S_{ky}} \text{[} \cdot \text{]}=k_N \cdot \frac{R_{ka}}{R_{ky}} \text{[} \cdot \text{]}= \frac{N_{ki}}{N_{wu}} \cdot \frac{R_{ka}}{R_{ky}} \text{[} \cdot \text{]}}$ (w19)
(4) $\mathsf{\large \text{RO [\%]}= \frac{k_{\text{N, max}}}{k_{\text{N, min}}} \text{ [\%]}}$ (w20)

Nie potrafię zinterpretować fizycznie pierwszego z przedstawionych związków. Przyjęło się przedstawiać wyniki w calach (['']). Równie dobrze można by przedstawiać GI w dowolnych innych jednostkach długości. Cal nie jest jednostką SI. Dla przypomnienia: 1 [''] = 0,0254 [m].

Interpretacja fizyczna drugiego z przedstawionych związków została przedstawiona powyżej. Jest to droga pokonywana przez dowolny punkt położony na obwodzie tylnego koła lub na ramie roweru podczas jednego pełnego obrotu korby. Parametr MoD uwzględnia geometrię całego roweru, a nie tylko samą relację napędu (k_N). Wynik przyjęło się przedstawiać w metrach ([m]). Równie dobrze można by przedstawiać MoD w dowolnych innych jednostkach długości. Metr jest jednak jednostką SI.

Interpretacja trzeciego z przedstawionych związków została przedstawiona powyżej. Jest to stosunek drogi przebywanej przez punkt położony na obwodzie koła do drogi przebywanej przez punkt położony na obwodzie korby. Jest to czysty stosunek wielkości wyrażonych w jednakowych jednostkach długości. Nie jest więc ważne, czy odległości S_ka i S_ky mierzymy w metrach, calach czy jeszcze jakichś innych jednostkach. Z tego względu współczynnik GR wydaje się najlepszy przy podawaniu miary „przełożenia”. Wprowadźmy dodatkowo następujące oznaczenie:

$\mathsf{\large k_R \text{ [} \cdot \text{]}= \frac{R_{ka}}{R_{ky}} \text{ [} \cdot \text{]}}$ (w21).

Możemy teraz zapisać GR następująco:

$\mathsf{\large \text{GR[} \cdot \text{]}=k_N \cdot k_R \text{ [} \cdot \text{]}}$ (w22)

GR można więc wyrazić przez iloczyn dwóch współczynników: współczynnika charakteryzującego „relację napędu” (k_N) oraz współczynnika charakteryzującego geometrię wybranych kół z Rys. 02 (k_R).

RO uwzględnia tylko relację napędu (k_N). Przedstawia maksymalne przełożenie do minimalnego przełożenia. Całemu zakresowi, czyli 100 % odpowiada k_N,min. Pytamy o ile większe jest przełożenie k_N,max. Przyjęło się, że parametr RO jest szczególnie chętnie wykorzystywany przez producentów przerzutek planetarnych.

Strona 3

3. Kilka przykładów.

Przykłady ilustrują tzw. podejście analityczne, tzn. analizujemy już zastany kawałek świata. Zanalizujmy napędy w trzech rowerach:

rower trekkingowy własnego pomysłu i wykonania na ramie Author Zenith, przerzutka zewnętrzna (3 x 7),
rower holenderski marki Amsterdam, przerzutka planetarna (3 biegi),
rower górski, Giant Anthem 2, przerzutka zewnętrzna (3 x 9).

Dane wejściowe dla każdego z omawianych przypadków to komplet informacji potrzebnych do wykonania obliczeń. W szczególności są to:

promień lub średnica koła; dwukrotność promienia (często oznaczanego jako r, z ang. radius = promień) to średnica (często oznaczana jako d, z ang. diameter = średnia), więc d = 2·R_ka; zwyczajowo podawana jest średnica koła wyrażana w calach;
liczba koronek korby oraz liczba zębów dla poszczególnych koronek korby N_ki,
liczba trybów wielotrybu oraz liczba zębów dla poszczególnych trybów N_wu,
promień korby, nazywany czasami długością korby R_ky.

Przed wykonaniem obliczeń należy odpowiednio dopasować jednostki poszczególnych wielkości.

Ad.1. Rower trekkingowy.

Dane wejściowe:

średnica koła: 28 '',
liczba koronek korby: 3, liczba zębów dla poszczególnych koronek korby N_ki: 52-42-30,
liczba trybów wielotrybu: 7, liczba zębów dla poszczególnych trybów N_wu: 28-24-21-18-15-3-11,
promień korby: 170 mm.

Tab. 1.

							kN (relacja napędu) [N_ki / Nwu]:
N koronki (Nki): 3 wartości:	N wielotrybu (N_wu): 7 wartości	Promień korby (R_ky):		Promień koła (R_ka):		52 / N_wu	42 / N_wu	30 / N_wu
52	11	170	mm	14	''	4,73	3,82	2,73
42	13	0,17	m	0,36	m	4	3,23	2,31
30	15					3,47	2,8	2
	18					2,89	2,33	1,67
	21					2,48	2	1,43
	24					2,17	1,75	1,25
	28					1,86	1,5	1,07

Tab. 2.

k_N min []:	k_N max []:	k_R [R_ka / R_ky]:	d = 2 · R_ka		π · d [m]:
1,07	4,73	2,09	0,71	m	2,23
			28	''

Tab. 3.

	GI ['']	MoD [m]	GR []	RO [%]
min.	30	2,39	2,24	441,21
maks.	132,36	10,56	9,89
rozstęp (maks. - min.)	102,36	8,17	7,65

Ad. 2. Rower holenderski marki Amsterdam, przerzutka planetarna.

Dane wejściowe:

średnica koła: 28 '',
liczba koronek korby: 1, liczba zębów koronki korby N_ki: 44,
liczba trybów wielotrybu: 1, liczba zębów trybu N_wu: 19,
promień korby: 170 mm.

Tab. 4.

N koronki (N_ki):	N wielotrybu (N_wu):	Promień korby (R_ky):		Promień koła (R_ka):			kN (relacja napędu) [N_ki / N_wu]:
44	19	170	mm	14	''	1,362	1,000	0,734
		0,17	m	0,36	m

Uważny czytelnik powinien w tym momencie zapytać skąd znałem wartości N_ki / N_wu.Niestety w przypadku przerzutki planetarnej policzenie kolejnych stosunków jest nieco trudniejsze. Najczęściej producent przerzutki po prostu podaje te wartości w danych katalogowych danej przerzutki. Właśnie z danych katalogowych zaczerpnąłem te wartości.

Tab. 5.

k_N min []:	k_N max []:	k_R [R_ka / R_ky]:	d = 2 · R_ka		π · d [m]:
0,73	1,36	2,09	0,71	m	2,23
			28	''

Tab. 6.

k_N min []:	k_N max []:	k_R [R_ka / R_ky]:	d = 2 · R_ka		π · d [m]:
0,73	1,36	2,09	0,71	m	2,23
			28	''

Tab. 7.

	GI ['']	MoD [m]	GR []	RO [%]
min.	20,55	1,64	1,54	185,56
maks.	38,14	3,04	2,85
rozstęp (maks. - min.)	17,58	1,4	1,31

Ad. 3. Rower górski, Giant Anthem 2.

Dane wejściowe:

średnica koła: 26 '',
liczba koronek korby: 3, liczba zębów dla poszczególnych koronek korby N_ki: 44-32-22,
liczba trybów wielotrybu: 9, liczba zębów dla poszczególnych trybów N_wu: 34-30-26-23-20-17-15-13-11,
promień korby: 170 mm.

Tab. 7.

							k_N (relacja napędu) [N_ki / N_wu]:
N koronki (N_ki): 3 wartości:	N wielotrybu (N_wu): 7 wartości	Promień korby (R_ky):		Promień koła (R_ka):		44 / N_wu	43 / N_wu	22 / N_wu
44	11	175	mm	13	''	4	2,91	2
32	13	0,18	m	0,33	m	3,38	2,46	1,69
22	15					2,93	2,13	1,47
	17					2,59	1,88	1,29
	20					2,2	1,6	1,1
	23					1,91	1,39	0,96
	26					1,69	1,23	0,85
	30					1,47	1,07	0,73
	34					1,29	0,94	0,65

Tab.8.

k_N min []:	k_N max []:	k_R [R_ka / R_ky]:	d = 2 · R_ka		π · d [m]:
0,65	4	1,89	0,66	m	2,07
			26	''

Tab. 9.

	GI ['']	MoD [m]	GR []	RO [%]
min.	16,82	1,34	1,22	618,18
maks.	104	8,3	7,55
rozstęp (maks. - min.)	87,18	6,96	6,33

Dalsza interpretacja.

Jak widać na podstawie powyższych przykładów sens ma raczej wyrażenie "zakres przełożeń" niż "przełożenie".
Porównywanie parametrów MoD, GR i RO wymaga pewnego skupienia. W fizyce i technice przyjęło się, że wielkości, które są ze sobą porównywane, są najpierw normalizowane. Normalizacja polega na dwóch działaniach. Po pierwsze wybierany jest zakres zmienności wartości, którą zamierzamy porównywać. Przypuśćmy, że dana wielkość zmienia się w zakresie od 0 do k, co możemy zapisać: <0; k>. Drugi krok normalizacji polega na podzieleniu wszystkich wartości z naszego zakresu przez maksymalną wartość z zakresu. W efekcie otrzymamy przedział <0; 1>. Dość często przyjmuje się, że porównywanie ułamków nie jest zbyt wygodne i wszystkie wartości z zakresu mnoży się jeszcze przez 100. W efekcie uzyskujemy zakres <0; 100>, a poszczególne wartości z zakresu oznaczamy jako [%].
W przypadku omawianych parametrów MoD, GR i RO nie można ich w prosty sposób ze sobą porównać. W przypadku parametrów MoD i GR ważny jest tak zakres <min.; maks.> jak i rozstęp = maks. - min. Uzasadnienie: w przypadku roweru trekkingowego uzyskaliśmy duży rozstęp, ale niewielką wartość min. W efekcie na takim rowerze trudno jest pokonywać strome wzniesienia, ale za to pozornie bardzo dobrze powinien dawać się rozpędzać na płaskiej nawierzchni. Wszystko fajnie, tylko że możemy nie dać rady wykorzystać tak dużej wartości maks., to znaczy nie osiągnąć prawidłowej kadencji (patrz niżej).
Przyjrzyjmy się jeszcze raz zależnościom definiującym parametry MoD, GR i RO i poszukajmy związków pomiędzy nimi:

$\mathsf{\large \text{MoD [m]}= k_N \cdot R_\text{ka} \text{ [m]} \cdot 2\pi}$
$\mathsf{\large \text{GR [}\cdot \text{]}= k_N \cdot k_R \text{[} \cdot \text{]}}$
$\mathsf{\large \text{RO [\%]}= \frac{k_{\text{N, max}}}{k_{\text{N, min}}} \text{ [\%]}}$

Jak widać, we wszystkich trzech wzorach wykorzystywany jest współczynnik k_N. Na czym polega różnica pomiędzy parametrami MoD oraz GR? Współczynnik MoD jest wyrażany w jednostkach odległości, ponieważ pod uwagę bierze promień koła. Współczynnik GR bierze jeszcze pod uwagę promień korby R_ky. Można więc powiedzieć, że parametr GR uwzględnia najwięcej cech konstrukcyjnych roweru: zarówno promień koła jak i promień korby. Intuicyjnie wyczuwamy, że dwa rowery, które różnią się tylko długością ramienia korby mają mimo wszystko nieco inny napęd. Parametr GR jest nam w stanie to pokazać, a parametr MoD nie. Niestety GR nie ma tak oczywistej interpretacji fizycznej, którą ma parametr MoD, który określa, jaką długość przebędzie rower przy jednym pełnym obrocie korby.

"Kalkulatory przełożeń".
W Internecie można znaleźć sporo „kalkulatorów” przełożeń. Wystarczy podać kilka parametrów naszego roweru, by wyskoczyła cała masa różnych parametrów. Przykładowo polecam strony: [3] i [4]. W stopce artykułu znajduje się plik "rower_przelozenia.ods" (arkusz kalkulacyjny pakietu OpenOffice.org), z którego korzystałem w trakcie pisania artykułu.

Nie samymi przełożeniami jednak człowiek żyje. Z przykładów można by wyciągnąć pochopny wniosek, że rower holenderski z jego przełożeniami nie nadaje się za bardzo do jazdy. A co dopiero rower bez żadnej przerzutki? Jest to oczywiście błędne przekonanie :-] Z przełożeniami jeździ się łatwiej. Skoro więc można żyć w ogóle bez przerzutki, to pojawia się pytanie:

Po co nam przełożenia w rowerze?
Punktem wyjścia niech będzie tzw. pojęcie kadencji. Kadencja to nic innego, jak częstotliwość, z jaką jesteśmy w stanie kręcić korbą (f_ky, z ang. frequency = częstotliwość). Za jednostkę przyjmuje się najczęściej liczbę obrotów w ciągu minuty [obr./min.]. Można przyjąć (założenie), że przeciętny rowerzysta na płaskiej drodze ma mniej więcej stałą kadencję, powiedzmy z zakresu [obr./min.]. Przy tej częstotliwości najsprawniej pracują te grupy mięśni, które decydują o wytrzymałości i są zdolne do długotrwałego, równomiernego wysiłku. Gdybyśmy teraz potrafili wyposażyć rowerzystę w układ mechaniczny, który pozwoli mu utrzymywać mniej więcej stałą kadencję niezależnie od nachylenia drogi, to teoretycznie będzie mógł się wysilać długo i z przyjemnością. Owym układem mechanicznym jest właśnie przerzutka.
Mamy więc dwie koncepcje sterowania.

Pierwsza: W rowerze z przerzutką zakładamy, że będziemy w stanie kręcić korbą z mniej więcej stałą częstotliwością niezależnie od nachylenia terenu. Prędkość, z jaką jedziemy, zależy od przełożenia, na którym jedziemy. (Teoretycznie. W praktyce, nawet jeżeli mamy przerzutkę, zmienia się nam kadencja podczas jazdy pod górę. Przynajmniej mi się zmienia, a konkretnie spada :-[)

Druga: W rowerze bez przerzutki zmieniamy częstotliwość obrotów korby w zależności od nachylenia terenu. Zmieniamy częstotliwość obrotów korbą, a tym samym zmieniamy prędkość roweru. Prędkość, z jaką jedziemy, zależy od częstotliwości obrotów korby.

Strona 4

4. Gęstość i skok przełożeń.
Dobieranie przełożeń to przykład podejścia syntetycznego: wiemy, co chcemy uzyskać i zaczynamy projektować, tworzyć, syntetyzować. Proces syntezy często przebiega w wielu krokach. Każdy z kroków kończy się porównaniem uzyskanego wyniku z założeniami. Jeżeli nadal ich nie spełnia, podejmowana jest kolejna próba, czyli iteracja. Tak oto w mądrych słowach podejście metodą prób i błędów nazwano projektowaniem iteracyjnym.

Skoro już wiemy, po co nam przerzutka, pozostaje teraz świadomie się przyjrzeć jej samej, jak i całej geometrii naszego metalowego rumaka. Jakie parametry możemy wziąć pod uwagę? Są to:

zakres przełożeń,
gęstość przełożeń,
skok przełożeń.

Przede wszystkim musimy sobie zdać sprawę z fizycznych ograniczeń. Pierwszy wybór, jakiego dokonujemy, to wybór rozmiaru koła. Od tego momentu parametr ten możemy traktować jako stałą. Do manipulacji pozostał nam już teraz tylko współczynnik kN, czyli liczby zębów na trybach wielotrybu i koronkach korby. Tu również nie mamy pełnej swobody, bo ogranicza nas fizyka: koła zębate muszą mieć skończoną i całkowitą (dodatnią) liczbę zębów, co przekłada się na skończony zbiór wartości k_N. Co prawda w ostatniej części artykułu wymieniam rozwiązanie, w którym współczynnik k_N należy do zbioru liczb rzeczywistych, czyli jest ciągły, a nie składa się ze zbioru wartości, ale póki co jest to rozwiązanie ciężkie, vide niepraktyczne.

Idealna przerzutka będzie miała szeroki zakres przełożeń, dzięki któremu pokonamy najbardziej strome podjazdy, jak i popędzimy z wiatrem w zawody. Przełożenia powinny być rozłożone równomiernie w całym zakresie, byśmy odnosili wrażenie równomiernej odległości pomiędzy kolejnymi biegami. Wreszcie skok przełożeń powinien być na tyle mały, byśmy przy zmianie biegów nie czuli 'szarpnięcia' czy przeskoku, a jednocześnie na tyle duże, by dały się wyczuć.

Dobieranie napędu jest możliwe w zasadzie tylko dla przerzutek zewnętrznych. W ich przypadku możemy dobrać (czytaj: kupić) gotowe zestawy koronek, wielotrybów i przerzutek. Co niektórzy być może pokuszą się o samodzielne złożenie zestawów koronek i wielotrybów o wymaganej przez siebie i niedostępnej w handlu liczbie zębów. W przypadku przerzutek planetarnych jesteśmy skazani na to, co przygotował dla nas producent.

Pochylmy się nieco nad napędem składającym się z przerzutek zewnętrznych oraz wielotrybu i koronek. Niemniej jednak podejście syntetyczne wielu osobom może się wydać atrakcyjne. Po szczegóły odsyłam np. do [2]. Autor artykułu [2] dobrał przełożenia napędu w taki sposób, by uzyskać możliwie najbardziej równomiernie gęsty rozkład przełożeń minimalizując dublowanie się przełożeń.

Temat zakresu przełożeń został już omówiony. Do omówienia pozostaje gęstość i skok przełożeń. Jak się domyślamy idealnie, gdyby skok przełożeń był jednakowy, a gęstość jak największa. Gęstość jest jednak ograniczona przez liczbę trybów w wielotrybie i koronek przy korbie. Przyjęło się, że liczba trybów kończy się póki co na wartości 10. Intuicyjnie wyczuwamy zależność, że im więcej trybów, tym węższy musi być łańcuch i dłuższy wózek przerzutki. Taki napęd staje się zawodny, podatny na zabrudzenia.

Przyjrzyjmy się, jak wygląda skok przełożeń dla przykładowego roweru górskiego (tego samego, który był już analizowany wyżej).

Tab. 10. Ilorazy k_N = N_ki / N_wu.

N_ki / N_wu	34	30	26	23	20	18	16	14	12
24	24 / 34	24 / 30	24 / 26	24 / 23	24 / 20	24 / 18	24 / 16	24 / 14	24 / 12
32	32 / 34	32 / 30	32 / 26	32 / 23	32 / 20	32 / 18	32 / 16	32 / 14	32 / 12
44	44/ 34	44 / 30	44 / 26	44 / 23	44 / 20	44 / 18	44 / 16	44 / 14	44 / 12

Tab. 11. Wartości ilorazów k_N(wyniki ilorazów N_ki / N_wu).

k_N	34	30	26	23	20	18	16	14	12
24	0,71	0,8	0,92	1,04	1,2	1,33	1,5	1,71	2
32	0,94	1,07	1,23	1,39	1,6	1,78	2	2,29	2,67
44	1,29	1,47	1,69	1,91	2,2	2,44	2,75	3,14	3,67

Na zielono zostały zaznaczone wartkości kN, które powinny być stosowane w czasie jazdy. Nie wszystkie wartości przełożeń, pomimo że teoretycznie osiągalne, należy stosować. Ma to związek z fizyczną budową napędu. Jeżeli łańcuch znajduje się na najmniejszym trybie wielotrybu i najmniejszej koronce korby, to niejako idzie 'na skos'. Podobnie się dzieje, gdy łańcuch znajduje się na największym trybie wielotrybu i największej koronce korby. Przy takich kombinacjach jest duża szansa, że usłyszymy szorowanie łańcucha o wózek przedniej przerzutki, o ile w ogóle przerzutki dadzą radę wrzucić takie kombinacje. Łańcuch jest maksymalnie wygięty i ryzykujemy jego uszkodzenie. Drugi powód, to nieduże różnice pomiędzy wartościami przełożeń. Sprawdźmy: dla N_ki = 32 i N_wu = 34 mamy k_N = 0,94, a dla N_ki = 24 i N_wu = 26 mamy k_N = 0,92. Obie wartości k_N różnią się na drugim miejscu po przecinku! Nie jesteśmy w stanie praktycznie wyczuć takiej różnicy. Tak więc, pomimo że teoretycznie mamy do dyspozycji 3 x 9 kombinacji, to w praktyce mamy ich zaledwie... 14.

Tab. 12. Dostępne w praktyce przełożenia, ponumerowana od 1 do 14.

Nr przełożenia	34	30	26	23	20	18	16	14	12
24	1	2	3	4	5
32				6	7	8	9	10
44						11	12	13	14

Czas zobaczyć różnice względne pomiędzy kolejnymi przełożeniami. Pytamy się o ile zmieni się przełożenie względem niższej wartości przełożenia. Innymi słowy odnosimy różnice wartości k_N do niższej wartości k_N.

Tab. 13. Różnice względne.

Różnice względne	34	30	26	23	20	18	16	14	12
24	(0,8 - 0,71) / 0,71	(0,92 - 0,8) / 0,8	(1,04 - 0,92) / 0,92	(1,2 - 1,04) / 1,04	(1,33 - 1,2) / 1,2
32				(1,39 - 1,2) / 1,2	(1,6 - 1,39) / 1,39	(1,78 - 1,6) / 1,6	(2 - 1,78) / 2	(2,29 - 2) / 2
44						(2,75 - 2,44) / 2,44	(3,14 - 2,75) / 2,75	(3,67 - 3,14) / 3,14

Tab. 14. Wartości różnic względnych [5].

Wartości różnic względnych	34	30	26	23	20	18	16	14	12
24	12,68%	15,00%	13,04%	15,38%	10,83%
32				15,83%	15,11%	11,25%	11,00%	14,50%
44						12,70%	14,18%	16,88%

Uwaga! By uzyskać zmianę o 15,83 % pomiędzy biegiem 5 i 6, musimy w trakcie jazdy: przerzucić łańcuch za pomocą przerzutki przedniej z koronki o 24 zębach na koronkę o 32 zębach, a następnie przerzucić łańcuch za pomocą przerzutki tylne z trybu o 20 zębach na tryb o 23 zębach. W praktyce nie jest więc możliwe proste przejście z biegu 5 na 6 (patrz Tab. 12), lecz składa się ono z sekwencji dwóch działań:

zmiana kN z biegu 5, z wartości kN = 1,2 (patrz Tab. 12 i Tab. 11) na bieg 7 z wartością kN = 1,6 (patrz Tab. 12 i Tab. 11), co daje zmianę o 33%,
zmiana kN z biegu 7, z wartości kN = 1,6 (patrz Tab. 12 i Tab. 11) na bieg 6 z wartością kN = 1,39 (patrz Tab. 12 i Tab. 11), co daje zmianę o 15,83%.

Jeszcze więcej 'gimnastyki' wymaga od nas zmiana pomiędzy biegami 10 i 11...

Tak więc jeżeli chcemy skorzystać z optymalnie rozłożonych przełożeń, musimy się nauczyć intensywnie zmieniać przerzutki i to wg podanego algorytmu. To nie dla mnie. W praktyce często stosuję zmiany o 33% (z koronki 32 na koronkę 24) oraz o 38% (z koronki 44 na 32) i na tym poprzestaję. Dobrze to, czy źle? Cóż, ocenę pozostawiam czytelnikom. Postępuję tak jednak w pełni świadomie.

Inny wniosek, to dość duże różnice pomiędzy wartościami skoku kolejnych biegów 1 ... 14: od 11 % (bieg 9) do prawie 17 % (bieg 13). Skok przełożeń jest więc nierównomierny. Cóż, pytanie, czy przeciętny rowerzysta jest to w stanie wyczuć.

Mając do dyspozycji tabele, które umożliwiają 'automatyczne' przeliczenie wartości można się pokusić o zmiany wartości N_ki i N_wu, czyli zaprojektowanie wymarzonego napędu.

Na zakończenie dyskusji polecam uwagę tabelę pokazującą skoki przełożeń przerzutki planetarnej Rohloff Speedhub 500/14 o 14 biegach:

skoki: 1 - 13,5 % - 2 - 13,7 % - 3 - 13,5 % - 4 - 13,5 % - 5 - 13,7 % - 6 - 13,5 % - 7 - 13,7 % - 8 - 13, 5 % - 9 - 13,7 % - 10 - 13, 5 % - 11 - 13,5 % - 12 - 13,7 % - 13 - 13,5 % - 14,
RO = 526 %.

Co najmniej porównywalnie, jeżeli nie lepiej.

Strona 5

5. Wnioski i źródła.

Wnioski subiektywne, czyli rozumowanie własne:

Rower trekkingowy. Po płaskim często jeździłem z niską kadencją, z przodu duża koronka, z tyłu jedno z mniejszych kół wielotrybu. Uznawałem za zupełnie normalne, że inni kręcą nogami znacznie szybciej (z wyższą kadencją). Nie zauważyłem, żebym się jakoś od nich szybciej męczył. W zasadzie nigdy nie byłem w stanie uzyskać stanu, w którym przy ustawieniu: z przodu duża koronka, z tyłu najmniejsze z kół wielotrybu doszedłem do kresu możliwości, tzn. czułem, że brakuje mi przełożenia, bo mogę kręcić nogami szybciej. Przy jeździe pod górę często dochodziłem do wniosku, że brakuje mi przełożeń, wobec czego traciłem swoją naturalną kadencję i zaczynałem zmniejszać kadencję. Dodatkowo przy jeździe pod górę mocno mi przeszkadzała wysokość roweru, co powodowało utratę kontaktu pomiędzy oponą przedniego koła z gruntem i powstawanie poślizgu.
Rower holenderski. Geometria ramy znacznie odbiega od geometrii pozostałych przykładowych rowerów. Nie bez znaczenia jest też spora masa roweru, około 20 kg. Często brakowało mi przełożeń podczas jazdy pod górę.
Rower górski. Jestem w stanie wykorzystać wszystkie przełożenia w układzie: największa koronka, najmniejsze koło wielotrybu. Przy jeździe pod górę udaje mi się utrzymywać stałą kadencję, choć wymaga to ode mnie nieco skupienia. Rower ma tak duży zakres przełożeń w układzie: najmniejsza koronka, największe koła wielotrybu, że nie jestem w stanie wykorzystać wszystkich przełożeń. Zdarza mi się teraz podjeżdżać pod na tyle strome zbocza, że tylne koło traci przyczepność i zaczyna się ślizgać, kręcić w miejscu („buksować”).
„Koszenie” łańcucha. Nie chcąc kosić łańcucha nie wykorzystamy wszystkich przełożeń roweru. Osobiście trudno mi się zgodzić z twierdzeniem, że warto dobrać napęd przerzutki zewnętrznej tak, by uzyskać możliwie jednakową gęstość przełożeń. Autor artykułu [2] przekonuje, że taki układ jest optymalny z punktu widzenia długodystansowca. Być może, ale pojawia się problem zmiany biegów. Chcąc zmieniać biegi wg przedstawionego wcześniej algorytmu, trzeba każdorazowo przestawiać zarówno koronkę jak i koła wielotrybu. Wymaga to wyrobienia w sobie odpowiedniego zwyczaju.
Przerzutka zewnętrzna ma skończoną, dyskretną liczbę przełożeń. Liczba przełożeń jest pochodną kilku czynników: liczby zębów, jakie da się upakować w wielotrybie i na koronce, długości ramienia przerzutki tylnej, która wybiera nadmiar łańcucha, szerokości łańcucha, wielkości ogniw łańcucha, wielkości zębów. Istnieje przekładnia, która nie ma tych ograniczeń. Jest to przekładnia, która mieści się w środku piasty i posiada teoretycznie nieskończoną liczbę stanów, ze względu na płynną regulację. Nazwa własna produktu to NuVinci. Takie rozwiązanie napędu nosi angielską nazwę „continuously variable transmission (CVT)”. Po polsku wariator. I wszystko byłoby pięknie, gdyby nie zniechęcająca waga takiej piasty. Po szczegóły odsyłam do [5]
Oceniając różne parametry przekładni doszedłem do wniosku, że tą idealną jest planetarna Rohloff Speedhub, 14 biegów. Najbardziej równomierna gęstość przełożeń przy skoku pomiędzy wszystkimi biegami na poziomie 13%, GR min.: 1,4, GR maks.: 7.1. Czego chcieć więcej?
Na rowerze bez przerzutek też da się jeździć :-)
Nie są to wszystkie typy przekładni stosowane w pojazdach napędzanych siłą mięśni. Nie są to też wszystkie typy skrzyń biegów, czy też napędów stosowanych w pojazdach napędzanych siłą mięśni, ale to już temat na osobny artykuł.

Post scriptum:

Jeżeli w powyższym rozumowaniu znalazłeś błąd, nie zgaszasz się z przedstawioną argumentacją lub dostrzegłeś inną nieścisłość, skontaktuj się z autorem. Autor nie jest nieomylny. Jest hobbystą, który napisał powyższy tekst w dobrej wierze, licząc, że być może kiedyś Ci się przyda.

Źródła:

http://www.kenkifer.com/bikepages/touring/gears.htm Cycling Cadence and Bicycle Gearing
http://www.geocities.com/SiliconValley/Port/2945/Gears/Gears.html Bicycle gearing
http://www.soulbikes.com/gears/ HPV Drivetrain Analyzer
http://www.sheldonbrown.com/gain.html Gain Ratios - A New Way to Designate Bicycle Gears
http://www.fallbrooktech.com/home.asp NuVinci

Do pobrania:

Plik rower_przelozenia.ods
Rysunki: rower1.svg

Licencja:

CC Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne 2.5 Polska

Komentarze

0 # ziom 2015-01-22 14:28

Bardzo dobry tekst, ja właśnie mam problem z ustawieniem w rowerze przełajowym z compactem, mianowicie nie nachodzą na siebie i mam spory przeskok :)

0 # Jerzy 2016-01-02 00:54

Bardzo przydatny artykuł - dziękuję.
A może skusiłbyś się na opracowanie go w formie dynamicznej symulacji co niesłychanie łatwo jest zrobić w prog. Geogebra i umieszczenie go na ich portalu. Coś jak moje małe ćwiczenie:
https://tube.geogebra.org/m/V7D9BEJX
Pozdrawiam

0 # mslonik 2016-01-20 23:47

@Jerzy. Nie skusiłbym się, bo nie mam tyle czasu, by poznawać kolejne narzędzia. Podany przez Ciebie link nie działa. Skoro już opanowałeś arkana Geogebry śmiało możesz opracować powyższy materiał i podzielić się nim z ludzkością. Serdecznie pozdrawiam.

Odśwież komentarze
Kanał RSS z komentarzami do tego postu.

Komentowanie za pomocą rozszerzenia JComments zostało wyłączone. Zapraszam do dodawania komentarzy za pomocą aplikacji Disqus.

JComments